Định nghĩa Số_thứ_tự

Định nghĩa theo các lớp tương đương

Định nghĩa ban đầu của các số thứ tự, được tìm thấy trong Principia Mathematica, định nghĩa dạng thứ tự như là lớp tương đương của tất cả các tập hợp được sắp thứ tự tốt đẳng cấu với nhau.

Định nghĩa của Von Neumann

Một vài số thứ tự von Neumann đầu tiên
0= {}= ∅
1= {0}= {∅}
2= {0, 1}= {∅, {∅}}
3= {0, 1, 2}= {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4= {0, 1, 2, 3}= {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}

Thay vì định nghĩa một số thứ tự như là một lớp tương đương các tập hợp được sắp thứ tự tốt, ta xác định một tập hợp được sắp thứ tự tốt cụ thể đại diện cho lớp ấy. Theo cách định nghĩa này, một số thứ tự là một tập hợp được sắp thứ tự tốt nhất định; và mỗi tập hợp được sắp thứ tự tốt sẽ đẳng cấu thứ tự với một và chỉ một số thứ tự.

Theo John von Neumann, "một số thứ tự là tập hợp được sắp thứ tự tốt của tất cả các số thứ tự nhỏ hơn nó".Tức là λ = [0, λ).[2][3] Chính xác hơn:

Một tập hợp S là một số thứ tự khi và chỉ khi S được sắp thứ tự tốt với quan hệ thứ tự là quan hệ thuộc (phần tử thuộc tập hợp) và mọi phần tử của S cũng là tập con của S.

Theo định nghĩa này, các số tự nhiên là các số thứ tự. Chẳng hạn, 2 là một phần tử của 4 = {0, 1, 2, 3} và 2 bằng {0, 1} và do đó, nó là một tập con của 4 = {0, 1, 2, 3}.

Liên quan